作业答案
思考题 证明：因为 
，所以 
．又因为 
， 
， 
，所以 
， 
，所以 
研究性题 ① 
．由条件得 
，…（A） 利用公式 
…（B）． 
得 
，即 
． ② 
．由（A）、（B）之和即得．③ 
．可利用 
．再利用①，即可得． ④ 
．利用立方和公式得到： 
．利用①可得 
．利用①②可得 
．还有 
……
第二课时
（－）导入新课
（教师活动）1．教师打出字幕（引例）； 2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．
（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．
［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50 
的一边靠墙的
矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？
[设问]
①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？
（学生口答：设篱笆墙长为y，则 
（ 
）．问
题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 
的值．）
②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？
（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）
设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．
（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．
[字幕]已知 
都是正数，求证：
（1）如果积 
是定值P，那么当 
时，和 
有最小值 
；
（2）如果和 
是定值S，那么当 
时，积 
有最大值 
证明：运用 
，证明（略）．
［点评］
①（l）的结论即 
，（2）的结论即 
②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．
③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当 
，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．
设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．
（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．
[字幕]例题1 求函数 
（ 
）的最小值，并求相应的 
的值．
［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且 
又 
与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为 
后，正数 
， 
的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．
解： 
，由 
，知 
， 
，且 
．当且仅当 
，即 
时， 
（ 
）有最小值，最小值是 
。
[点评] 要正确理解 
的意义，即方程 
要有解，且解在定义域内．
[字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 
，深为 3 m，如果池底每l 
的造价为 150元，池壁每1 
的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
［分析］ 设水池底面一边的长为 
m，水池的总造价为y，建立y关干 
的函数．然后用定理求函数y的最小值．
解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 
m，又设水池总造价为y元，根据题意，得
（
）
所以 
当
，即
时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是