作业答案

　　思考题 证明：因为 ，所以

．又因为 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性题  ① ．由条件得 ，…（A）  利用公式 …（B）． 得 ，即 ． ② ．由（A）、（B）之和即得．③ ．可利用 ．再利用①，即可得． ④ ．利用立方和公式得到： ．利用①可得 ．利用①②可得 ．还有 ……

第二课时

　　（－）导入新课

　　（教师活动）1．教师打出字幕（引例）； 2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

　　（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

　　［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50 的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

　　[设问]

　　①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

    （学生口答：设篱笆墙长为y，则 （ ）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 的值．）

　　②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

　　（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

　　设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索、建立新知】

　　（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

　　（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

　　[字幕]已知 都是正数，求证：

　　（1）如果积 是定值P，那么当 时，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么当 时，积 有最大值

　　证明：运用 ，证明（略）．

　　［点评］

　　 ①（l）的结论即 ，（2）的结论即

　　②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

　　③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当 ，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

　　设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

　　（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

　　 [字幕]例题1 求函数 （ ）的最小值，并求相应的 的值．

　　［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且 又 与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为 后，正数 ， 的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

　　解： ，由 ，知 ， ，且 ．当且仅当 ，即 时， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[点评] 要正确理解 的意义，即方程 要有解，且解在定义域内．

　　[字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 ，深为 3 m，如果池底每l 的造价为 150元，池壁每1 的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

　　［分析］ 设水池底面一边的长为 m，水池的总造价为y，建立y关干 的函数．然后用定理求函数y的最小值．

　　解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（ ）

所以          

　　当 ，即 时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是