例1 在三角形ABC中,点I是内心,直线BI,CI交AC,AB于D,E.已知ID=IE.
求证: ∠ABC=∠BCA,或∠A=60°.
教学点拨: 本题要运用分析与综合的方法,从条件 A
与结论两个方向去分析. 从条件分析,由ID=IE E’
E D
及I是内心,可以推出△AID和△AIE是两边一对 I
B C
角对应相等,有两种可能: AD=AE或AD≠AE,
从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系. 从结论分析,要证明题目结论,需要找出,∠ABC与∠ACB的关系,∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.从条件和结论两个方面分析,只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题.
附证明过程: 连结AI,在△AID和△AIE中,AD与AE的大小有两种可能情形: AD=AE,或AD≠AE.
(1)如果AD=AE,则△AID≌△AIE,有∠ADI=∠AEI.
而∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB, ∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.
所以,1/2∠ABC+∠ACB=1/2∠ACB+∠ABC.
即,∠ABC=∠ACB.
(2)如果AD≠AE,则设AD>AE,在AD上截取AE’=AE,连结IE’.则△AIE’≌△AIE.
所以,∠AE’I=∠AEI. IE’=IE=ID.
因此,△IDE’为等腰三角形,
则有 ∠E’DI=∠DE’I.
因 ∠AE’I+∠DE’I=180°,
所以,∠AEI+∠AIE=180°.
因此,(1/2∠ACB+∠ABC)+(1/2∠ABC+∠ACB)=180°.