班级__________姓名__________得分___________

一、判断题：

1．在同一平面上射影长相等的两条斜线段的长也相等．（    ）

2．同条异面直线在同一平面上的射影是相交的两条直线．（    ）

3．若两条直线都与同一平面成相等的角，则这两条直线相互平行．（    ）

4．菱形ABCD所在平面外有一点P，且PC⊥平面ABCD，则PA与对角线BD的位置关系是异同且垂直．（    ）

5．H是△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，则PC⊥AB．(    )

二、填空题：

1．  如图3—21，∵PH⊥平面β于H，lβ，PA⊥l于A，

∴________⊥l（理由__________．）

2．∵PO⊥平面ABC于O点，且垂足O为△ABC的垂心，

∴PA在平面ABC上的射影是____，且这条射影垂直于______，

∴PA⊥______．（理由_________），

延长AO交BC于_____（如图3—21），连结_____．

则_____BC（理由_____________），

故__________就是点P到BC的垂线段,它的长就是点P到BC的距离．

3．  已知：∠AVB=∠BVC=∠CVA=，

求证：△ABC是锐角三角形．

证法一：利用______定理

思路：作VD⊥BC于D，则D在线段BC上，

连结AD，则AD⊥_____（如图3—22），故∠ABC、∠ACB为锐角，同理∠BAC为锐角，所以△ABC是锐角三角形

证法二：利用__________定理．

思路：设VA=a，VB=b，VC=c，

则AB²=a²+b²，AC²=a²+c²，BC²=b²+a²．

在△ABC中，cosA_____＞0，故∠A为锐角．

同理，∠B、∠C均为锐角，△ABC是锐角三角形．

证法三：利用__________定理．

思路：∵∠ABV是AB与平面VBC所成的角，

∴∠ABV＜∠ABD，同理∠BAV＜∠___________．

∴∠ABV+∠BAV=＜∠ABC+∠__________．

∴∠ACB＜(下略)．

三、解答题：

1．  如图，已知直线AB⊥平面α，直线aα，作AC⊥a，BD⊥a垂足为C、D，判断上述作法是否可能，并说明理由．

2．  长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=8，AA₁=3.6，AE⊥B₁D₁于E．

（1）       证明：A₁E⊥B₁D₁；

（2）       求AE的长．（如图3—24）．

三垂线定理（A）答案

一、（1）×  （2）×  （3）×  （4）√   （5）√

一、1．AH，三垂线定理的逆定理；

2．AO，BC，BC，三垂线定理；D．BD，PD，三垂线定理，PD；

2．  三垂线，BC；余弦，；最小角，∠BAC，∠BAC．

三、1．解：不可能，理由如下：设AB与α相交于点E，连结EC，ED，若AC⊥a，BD⊥a由三垂线定理逆定理EC⊥a，ED⊥a，这与平面上过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾．

2．（1）AE在平面B₁D₁上的射影是A₁E，由三垂线定理的逆定理知A₁E⊥B₁D₁．

（2）在 Rr△A₁B₁D₁中，由等面积法得A₁E，在Rt△A₁AE中，由勾股定理知AE=6．