一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为
【 】
【 】
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
【 】
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
【 】
(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是
【 】
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB
(C)既无最大值也无最小值
(D)有最大值1,但无最小值
【 】
(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35
【 】
(A)是奇函数
(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数
(D)不是奇函数也不是偶函数
【 】
(A)线段 (B)双曲线的一支
(C)圆弧 (D)射线
【 】
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则
【 】
(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间
【 】
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为
(A)抛物线 (B)圆
(C)双曲线的一支 (D)椭圆
【 】
(A)三棱锥 (B)四棱锥
(C)五棱锥 (D)六棱锥
【 】
(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是
【 】
(A)50项 (B)17项
(C)16项 (D)15项
【 】
(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么
【 】
(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
【 】
(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
【 】
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为
m(精确到0.1m).
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共 种(用数字作答).
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.
(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .
三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.
(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.
(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.
出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:
(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;
(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.
1993年试题(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B
(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C
(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
(19)2 (20)17.3 (21)4186
三、解答题.
(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.
(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.
(Ⅱ)解法一:
过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.
连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.
∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.
又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有
AE⊥l.
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,
∵ l∥AC.
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
在Rt△A1AE中,
∵ A1A=1,∠A1AE=90°,
解法二:
同解法一得l∥AC.
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,
以下同解法一.
(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.
解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.
(c,0)和(x0,y0).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,
∴ 由题设知
解法二:
(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.
(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.
证法一:
依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式
△=a2-4b≥0.
平方得 a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,
由此得 -4(4+b)<8a<4(4+b),
∴2│a│<4+b.
(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,
4±a>0;
且 △=a2-4b<a2-4(2│a│-4)
=a2±8a+16=(4±a)2,
又 △≥0,
∴ -2<α≤β<2,
得 │α│<2,│β│<2.
证法二:
(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.
因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.
故必有f(±2)>0,
即4+2a+b>0,2a>-(4+b);
4-2a+b>0,2a<4+b.
∴2│a│<4+b.
(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ①
及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.
综上所述α,β均落在(-2,2)内.
∴│α│<2,│β│<2.