一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是
【 】
(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是
(A)y=log5x+1 (B)y=logx5+1
(C)y=log5(x-1) (D)y=log5x-1
【 】
(A)一条平行于x轴的直线 (B)一条垂直于x轴的直线
(C)一个圆 (D)一条抛物线
【 】
【 】
(5)给出20个数
87 91 94 88 93 91 89 87 92 86
90 92 88 90 91 86 89 92 95 88
它们的和是
(A)1789 (B)1799
(C)1879 (D)1899
【 】
(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的
(A)充分条件 (B)必要条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件
【 】
(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有
(A)D=E (B)D=F
(C)E=F (D)D=E=F
【 】
(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG中必有
(A)SG⊥△EFG所在平面 (B)SD⊥△EFG所在平面
(C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面
【 】
(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是
【 】
(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是
【 】
二、只要求直接写出结果.
(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.
三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.
求证:平面PAC垂直于平面PBC.
四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.
五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.
六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:
七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.
九、(附加题不计入总分)
(1)求y=xarctgx2的导数.
1986年试题(理工农医类)答案
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)B; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B;
(6)D; (7)A; (8)A; (9)D; (10)C.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.
证明:设圆O所在平面为α.
由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,
因此 PA⊥BC.
因此∠BCA是直角,
因此BC⊥AC.
而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,
因此BC⊥△PAC所在平面.
从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.
四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.
解:满足sin2x>0的x取值范围是
而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到
x2-2x-15<x+13, ②
x2-2x-15>0, ③
x+13>0,④
解不等式②得:
-4<x<7, ⑤
解不等式③及④得
-13<x<-3或x>5. ⑥
综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为
(-π,-3)∪(2π,7).
五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.
解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.
记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.
六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.
解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,
A∪B元素的个数是12+12-4=20.
解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.
七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.
解:由已知条件可知,直线l1的方程是
y=k(x+1), ①
把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到
k2x2+(2k2-4)x+k2=0, ②
因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:
(2k2-4)2-4k2·k2>0, ③
及 k≠0. ④
解出③与④得到 k∈(-1,0)∪(0,1).
今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得
定义域是 (-1,0)∪(0,1).
注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.
八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.
证明:首先,
由于x1>0,由数列{xn}的定义可知
xn>0,(n=1,2…)
那么当n=k+1时
从而对一切自然数n都有xn+1>xn.
(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有xn+1<xn.
九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.
