一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.
二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.
三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.
四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.
五、解不等式(x为未知数):
六、用数学归纳法证明等式
对一切自然数n都成立.
七、设1980年底我国人口以10亿计算.
(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?
(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?
下列对数值可供选用:
lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417
lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720
lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060
八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.
(1)求直线AB和棱a所成的角;
(2)求直线AB和平面Q所成的角.
(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.
(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
十、附加题:计入总分.
已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).
设AC=a,BC=b,作数列
u1=a-b,
u2=a2-ab+b2,
u3=a3-a2b+ab2-b3,
……,
uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;
求证:un=un-1+un-2(n≥3).
1981年试题(理工农医类)答案
一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)
(2)A∩B=.(或A∩B={},或A∩B=空集.)
二、解:
所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)
AB,AC,AD,BC,BD,CD,
BA,CA,DA,CB,DB,DC.
所有可能的选举结果:
ABC,ABD,ACD,BCD.
三、解: (1)必要条件
(2)充分条件
(3)充分条件
(4)充要条件
四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.
证法一:平面几何证法.
如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得
a2=CD2+DB2
=(bsinA)2+(c-bcosA)2
=b2+c2-2bccosA.
如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得
a2=CD2+BD2
=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2
=b2+c2-2bccosA.
如果∠A是直角,cosA=0,
∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.
证法二:解析几何证法
以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得
A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).
由两点间的距离公式得
a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2
=b2+c2-2bccosA.
五、解:原行列式可逐步简化如下:
故原不等式为
x2(x-a-b-c)>0.
原不等式的解是
x≠0,x>a+b+c.
所以当n=1时等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立,即
所以当n=k+1时等式也成立.
根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.
七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即
x=10×(1.02)20,
两边取对数,得
lgx=1+20lg1.02=1.17200,
∴ x=14.859(亿).
答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.
(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得
10×(1+y%)20≤12,
即 (1+y%)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得
20lg(1+y%)≤lg1.2.
即 lg(1+y%)≤0.00396.
∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.
答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.
八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.
∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,
∴ ∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,
∴ CD=BE=4.
连结AC,由余弦定理得
又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.
答:直线AB和棱a所成的角等于
(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,
连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以
答:直线AB和平面Q所成的角为
九、解法一:(1)设直线l的方程为
y=k(x-2)+1, (i)
将(i)式代入双曲线方程,得
(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)
到此,若指出所求轨迹的参数方程是
这就是所要求的轨迹方程.
(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得
(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)
