2002．6
一、 选择题：每小题5分，共60分。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | C | B | C | C | B | A | D | C | B | C |
二、 填空题：每小题4分，共16分。
（13）-189 （14）
（15）2n-1 （16）8
三、 解答题：共74分
（17）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证：由已知，
。
由余弦函数单调性可知
。 （5分）
（Ⅱ）解：
（9分）
，
。
。
即
。时 （12分）
（18）（本题满分12分）
解（Ⅰ）
。
。
。
两式相加 ，得
。
。 （6分）
（Ⅱ）
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：三棱柱ABC—A′B′C′中，。C′B′//CB，
又C′B′⊥AB，∴CB⊥AB。
又四边形BCC′B′是矩形，CBB′B，
∴CB⊥平面A′AB。
∵CB
平面CA′B
∴平面BCC⊥平面AAB。 （4分）
（Ⅱ）解：过A作AH⊥BB′于H，连C′H。
∵CB平A′AB，CB平面BCC′，
∴平面BCC′⊥平面AAB。
∴AH⊥平面BCC。
∴∠AC′H为AC′与平面BCC′所成角。
连接A′B交于A′B于O，由四边形A′ABB′是菱形，ABB′=60O，可知ABB′为等边三角形，而H为BB中点，又AB′=4，AH=，于是在RtC′B′A中，
AC′=
在Rt△AHC中，
故直线AC′与平面BCC′所成角为
（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，平面BCC′⊥平面A′AB，AH ⊥BB′，
∴AH⊥平面BCC′。
∴点A到平面BCC′的距离即为AH=AB×
。
∵A′A//B′B，A′A//平面BCC′。
∴点′到平面BCC′的距离也为
。
= 
（12分）
（20）（本小题满分12分）
解：设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为（3-x）万元，获得的利润总额为y万元。（2分）
由题意，得
。（6分）
设
，那么
（10分）
即
，
。因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元。（12分）
（21）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程为：
。
依题意，易知抛物线焦点坐标为（3，0）。
∴ c=3
又由已知，有
解之，得a=5，b=4。
椭圆方程为
。 （4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题设易知y1 ≠ y2，且弦AB中点M（
）。
AB垂直平分线l方程为：
令
①
∵ A、B坐标满足椭圆方程：
， 
两式相减：
。
代入①式得
∴AB垂直平分线l与x轴交于定点T（
。（9分）
（22）（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知，当
即
由
得
；
由
解得
；
由
解得
（6分）
（Ⅱ）则
，
，
，于是猜相：
。
以下用数学归纳法证明：
（a）当n=1时命题成立，
（b）设n=k时，
。
由
，
即当n=k+1时命题也成立。
故由（a）、（b）知对一切
（13分）