一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后的括号内.

   【    】

(2)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为

   【    】

(3)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是

    【    】

(4)方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是

(A)10°.   (B)20°.      (C)50°.      (D)70°

    【    】

(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是

(A)6:5.    (B)5:4.       (C)4:3.       (D)3:2

   【    】

个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为

   【    】

(7)若loga2<logb2<0,则

(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1

(C)a>b>1   (D)b>a>1

   【    】

(A)20°.   (B)70°.      (C)110°.     (D)160°

   【    】

(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有

(A)1个.   (B)2个.      (C)3个.      (D)4个.

   【    】

(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

   【    】

(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为

(A)160.    (B)240.       (C)360.       (D)800.

   【    】

(12)若0<a<1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是

(A)[0,arcsina].   (B)[arcsina,π-arcsina].

   【    】

(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0

(ab>0),那么l2的方程是

(A)bx+ay+c=0.     (B)ax-by+c=0.

(C)bx+ay-c=0.     (D)bx-ay+c=0.

   【    】

(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是

      【    】

(15)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为

   【    】

(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.

(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.

(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.

(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.

   【    】

(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么

(A)f(2)<f(1)<f(4).      (B)f(1)<f(2)<f(4).

(C)f(2)<f(4)<f(1).      (D)f(4)<f(2)<f(1).

   【    】

(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为

(C)5.      (D)6.

   【    】

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(20)sin15°sin75°的值是            .

(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的

(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是.

(23)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则

三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.

(26)已知:两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.

(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.

(Ⅰ)求公差d的取值范围.

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.

1992年试题(理工农医类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)A  (2)D   (3)D   (4)B   (5)D   (6)B

(7)B  (8)C   (9)D   (10)D  (11)B  (12)B

(13)A (14)D  (15)D  (16)C  (17)A  (18)C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答案

(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.

解:设z=x+yi(x,y∈R).

将z=x+yi代入原方程,得

(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,

整理得

x2+y2-3y-3xi=1+3i.

根据复数相等的定义,得

由①得 x=-1.

将x=-1代入②式解得y=0,y=3.

∴z1=-1,z2=-1+3i.

(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.

解:由题设知α-β为第一象限的角,

由题设知α+β为第三象限的角,

∴    sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]

=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.

解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图).

∵    AA1⊥b,       ∴     AA1⊥α.

根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.

在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.

∵    AG=m,

∴在△AFG中,

FG2=m2+n2-2mncosθ.

∵    EG2=d2,

∴    EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.

如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则

EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.

解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.

根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.

在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1,

从而EG⊥α.

连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.

在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.

(以下同解法一)

(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.

(Ⅰ)解:依题意,有

由a3=12,得

   a1=12-2d.     ③

将③式分别代①、②入,得

(Ⅱ)解法一:由d<0可知

a1>a2>a3>…>a12>a13.

因此,若1≤n≤12在中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,

则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

由于   S12=6(a6+a7)>0,

S13=13a7<0,

即    a6+a7>0,

a7<0.

由此得 a6>-a7>0.

因为  a6>0,a7<0,

故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

(Ⅱ)解法二:

∵    d<0,

∴    S6最大.

(Ⅱ)解法三:

由d<0可知   a1>a2>a3>…>a12>a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,

则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.

证法一:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故

│PA│=│PB│,即

∵    A、B在椭圆上,

将上式代入①,得

∵    x1≠x2,可得

∵    -a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,

∴    -2a<x1+x2<2a,

证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为

(x-x0)2+y2=r2,

与椭圆方程联立,消去y得

因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得

因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故