考试内容：

曲线和方程。由已知条件列出曲线的方程。充要条件。曲线的交点。

圆的标准方程和一般方程。

椭圆及其标准方程。焦点、焦距。椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线。椭圆的画法。

双曲线及其标准方程。焦点、焦距。双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线。双曲线的画法。等边双曲线。

抛物线及其标准方程。焦点、准线。抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。抛物线的画法。

坐标轴的平移。利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程。

考试要求：

(1)掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线。

理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题的充要关系。

(2)掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。会根据所给的条件画圆锥曲线。了解圆锥曲线的一此实际应用。

(3)理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法。

(4)了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。

一、选择题

设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(　 )(86年(6)3分)
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件　　　 (D)既不充分也不必要条件

如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0(D²＋E²－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称,那么(　 )(86年(7)3分)
(A)D＝E (B)D＝F (C)E＝F (D)D＝E＝F

椭圆方程为,那么它的准线方程为(　)(87年(2)3分)
(A)y＝± (B)y＝± (C)x＝± (D)x＝±

设圆M的方程为(x－3)²＋(y－2)²＝2 ,直线l的方程为x＋y－3＝0,点P(2,1),那么(　 )(88年(2)3分)
(A)P∈l ,PÏM　 (B)P∈M,PÏl (C)P∈M,P∈l　 (D)PÏM,PÏl

已知双曲线方程为＝1,那么它的焦距是(　)(88年(4)3分)
(A)10　 (B)5　 (C) (D)2

如果曲线x²－y²－2x－2y－1＝0经过平移坐标轴后的新方程为x^,2－y^,2＝1 ,那么新坐标系原点在原坐标系中的坐标为(　 )(88年(13)3分)
(A)(1 ,1)　 (B)(－1 ,－1)　 (C)(－1 ,1) (D)(1 ,－1)

如果双曲线＝1上一点P到它的右焦点的距离是8 ,那么点P到右准线的距离是(　 )(89年(10)3分)
(A)10　 (B)　 (C)2 (D)

焦点在(－1 ,0),顶点在(1 ,0)的抛物线方程是(　 )(91年(2)3分)
(A)y²＝8(x＋1)　 (B)y²＝－8(x＋1) (C)y²＝8(x－1)　 (D)y²＝－8(x－1)

设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件 ,那么(　 )(91年(11)3分)
(A)丙是甲的充分条件 ,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件 ,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

圆x²＋2x＋y²＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　 )(91年(14)3分)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

圆心在抛物线y²＝2x上且与x轴和该抛物线准线都相切的圆的方程是(　)(92年(10)3分)
(A)x²＋y²－x－2y－＝0 (B)x²＋y²＋x－2y＋1＝0
(C)x²＋y²－x－2y＋1＝0　 (D)x²＋y²－x－2y＋＝0

如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为(　 )(93年(1)3分)
(A) (B) (C)　 (D)2

一动圆与两圆:x²＋y²＝1和x²＋y²－8x＋12＝0都外切,则动圆圆心的轨迹为(　 )(93年(12)3分)
(A)抛物线　 (B)圆　 (C)双曲线的一支 (D)椭圆

如果方程x²＋ky²＝2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　 )(94年(2)4分)
(A)(0 ,＋∞)　 (B)(0 ,2)　 (C)(1 ,＋∞)　 (D)(0 ,1)

设F₁,F₂为双曲线－y²＝1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂＝90°,则△F₁PF₂的面积是(　 )(94年(8)4分)
(A)1　 (B) (C)2　 (D)

双曲线3x²－y²＝3的渐近线方程是(　 )(95年(8)4分)
(A)y＝±3x (B)y＝± (C)y＝±x　 (D)y＝±x

设双曲线＝1(0＜a＜b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为(　 )(96年(13)5分)
(A)2　 (B) (C) (D)

椭圆C与椭圆＝1关于直线x＋y＝0对称,椭圆C的方程是(　 )(97年(11)5分)

椭圆＝1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的(　)(98年(12)5分)
(A)7倍 (B)5倍 (C)4倍 (D)3倍

已知两点M(1,)、N(－4,－),给出下列曲线方程:
①4x＋2y－1＝0 ②x²＋y²＝3 ③＋y²＝1 ④－y²＝1
在曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是(99年(13)5分)
(A)①③ (B)②④ (C)①②③　 (D)②③④

二、填空题

(1)曲线y²＝－16x＋64的焦点坐标是____________.(85年(8)4分)

(2)已知方程＝1表示双曲线,则λ的范围是______.(87年(12)4分)

(3)抛物线y＝4x²上到直线y＝4x－5的距离为最短的点的坐标是_________.(87年(5)4分)

(4)已知A和B是两个命题,如果A是B的充分条件,那么B是A的______条件,的__________条件.(89年(17)4分)

(5)双曲线＝1的准线方程是______________.(90)年(16)3分)

(6)焦点为F₁(－2,0)和F₂(6,0),离心率为2的双曲线的方程是_________.(92年(22)3分)

(7)抛物线y²＝4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为________.
(93年(19)3分)

(8)抛物线y²＝8－4x的准线方程是_________,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____________.(94年(17)4＋4＝8分)

(9)直线l过抛物线y²＝a(x＋1)(a＞0)的焦点,并且与x轴垂直,若抛物线截得l的一段长为4,则a＝_________.(95年(19)4分)

(10)已知圆x²＋y²－6x－7＝0与抛物线y²＝2px(p＞0)的准线相切,则p＝_____.(96年(16)4分)

(11)设圆过双曲线＝1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________.(98年(16)4分)

(12)设椭圆＝1(a＞b＞0)得右焦点为F₁,右准线为l₁,若过F₁且垂直于x轴的弦长等于点F₁到l₁的距离,则椭圆的离心率为______________(99年(15)4分)

三、解答题

1.过点M(－1,0)的直线l₁与抛物线y²＝4x交于P₁、P₂两点,记:线段P₁P₂的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l₂,l₂的斜率为k.试把直线l₂的斜率与直线l₁的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.(86年(21)12分)

2.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y²＝x上运动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.(87年(21)10分)

3.如图:直线l的方程为x＝－,其中p＞0,椭圆的中心为D(2＋,0),焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴为1,它的一个顶点为A(,0),问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离.(88年(29)12分)

4.自点A(－3 ,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆:

x²＋y²－4x－4y＋7＝0相切,求光线L所在直线的方程.(89年(21)10分)

5.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e＝.已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是,求椭圆方程,并求椭圆上到P点距离等于的点的坐标.(90年(25)10分)

6.双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上.过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于p、Q两点,若OP⊥OQ,|PQ|＝4,求双曲线的方程.(91年(26)12分)

7.已知椭圆＝1(a＞b＞0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x₀,0).证明:－.(92年(26)12分)

8.在面积为1的△PMN中,tgM＝,tgN＝－2.建立适当坐标系,求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.(93年(27)10分)

9.已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴.若点A(－1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.(94年(24)12分)

10.已知椭圆＝1,直线l:＝1,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ||OP|＝|OR|.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.(95年(24)12分)

11.已知l₁,l₂是过点P(－,0)的两条互相垂直的直线,且l₁,l₂与双曲线y²－x²＝1各有两个交点,分别为A₁,B₁和A₂,B₂.(Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范围.(Ⅱ)如果|A₁B₁|＝|A₂B₂|,求l₁,l₂的方程.(96年(24)12分)

12.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1.在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x－2y＝0的距离最小的圆的方程.(97年(25)12分)

13.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以点A,B为端点的曲线C上的任意一点到l2的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形,|AM|＝,|AN|＝3,且|BN|＝6.建立适当的坐标系,求曲线C的方程.(98年(21)11分)

14.设曲线C的方程是y＝x³－x,将C沿x轴、y轴正方向
分别平行移动t、s单位长度后得到曲线C1,
①写出曲线C1的方程;
②证明曲线C与C1关于点A()对称.
③如果曲线C与C‘有且仅有一个公共点,证明:s＝－t且t≠0.(98年(24)12分)

15.如图,给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l:x＝－1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系(99年(24)14分)