一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.

(A)X       (B)T   (C)φ  (D)S

   【    】

   【    】

(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么

(A)│a+b│>│a-b│      (B)│a+b│<│a-b│

(C)│a-b│<││a│-│b│ (D)│a-b│<│a│+│b│

   【    】

(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设

命题甲:点E,F,G,H不共面.

命题乙:直线EF和GH不相交.

那么

(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.

(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.

(C)甲是乙的充要条件.

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.

   【    】

(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是

   【    】

(198701)

   【   】

(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是

(A)直线    (B)圆

(C)双曲线  (D)抛物线

   【    】

(198702)

   【    】

二、只要求写出结果.

(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.

(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.

(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.

(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.

三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

四、如图(198703),三棱锥P—ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.

五、设对所有实数x,不等式

恒成立,求a的取值范围.

六、设复数z1和z2满足关系式

其中A为不等于0的复数.证明:

(1)│z1+A││z2+A│=│A│2;

七、设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn与an的关系是

其中是b与n无关的常数,且b≠-1.

(1)求an和an-1的关系式;

(2)写出用n和b表示an的表达式;

八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.

九、(附加题,不计入总分)

(2)设y=xln(1+x2),求y′.

1987年试题(理工农医类)答案

一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)D   (2)C   (3)B   (4)A

(5)B   (6)D   (7)B   (8)A

二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.

三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.

解法一:sin10°sin50°sin70°

∴sin10°sin30°sin50°sin70°

解法二:

∵sin10°sin50°sin70°

,

.

解法三:

sin10°sin30°sin50°sin70°

=

=

四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.

证明:连结AD和PD.

∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，

∴BC⊥平面PAD,

三棱锥B—PAD体积

同理,三棱锥C—PAD的体积

∴ 三棱锥P—ABC体积

∵ V=V1+V2,

若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.

五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.

解:由题意得

化简为 z(6-z)<0,

解得  z>6,或z<0.   ④

①式变形为log28-z>0,

∴    z<3,   ⑤

综合④,⑤得  z<0,

解①，⑥得a的取值范围：   0<a<1.

六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.

解法一:(1)由已知的关系式得

∵│z1+A││z2+A│

由①证得

│z1+A││z2+A│=││A│2│=│A│2.     ②

(2)∵ A≠0,由①得

z1+A≠0,

由此得

由②得

解法二:(1)由题设

所以证得 

(2) 

以(1)中的结果代入得

解法三:(1)由已知的关系式得

令    z1+A=r(cosα+isinα),z2+A=s(cosβ+isinβ),

由于A≠0,我们有r≠0,s≠0.

由①得

rs[cos(α-β)+isin(α-β)]=│A│2,

于是

rscos(α-β)=│A│2,sin(α-β)=0,

∴       cos(α-β)=1,

rs=│A│2,

而     │z1+A││z2+A│=rs,

所以证得      │z1+A││z2+A│=│A│2.

解法四:(1)│z1+A││z2+A│

=│A│2.

(2)由A≠0和(1)的结论知z2+A≠0.

利用(1)的结果

七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.

解法一:(1)an=Sn-Sn-1

由此解得

由此推得

把②代入③得

∵0<b<1时

所以当0<b<1时

解法二:(1)同解法一，

(2)同解法一得,

由①得

我们来证明

由②知n=1时③式成立.

设    n=K时③式成立,则由递推公式①有

即当n=K+1时③式也成立.由归纳原理,对任意自然数n,③式成立.

以下同解法一.

(3)同解法一.

八、本题考查距离公式、中点坐标等解析几何知识、最小值知识及分析问题的能力.

解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3,那么

32=(x2-x1)2+(y2-y1)2

=(y2-y1)2·[(y2+y1)2+1].    ②

线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为

由②得

并且当

(y1-y2)2=(y1+y2)2+1=3 ③

下面证明x能达到最小值,根据题意不防设y1>y2,由③得

解法二:设A(x1,y1)和B(x2,y2),那么

32=(x2-x1)2+(y2-y1)2.  ②

AB中点M(x,y)到y轴的距离

由②得

整理得

4(y1y2)2+2y1y2+32-4x2-2x=0,   ④

因y1y2为实数,故

△=4-4×4(32-4x2-2x)≥0,

由此得

16x2+8x+1≥4×32,

(4x+1)2≥4×32,

因为x≥0,所以

4x+1≥6,

由⑥,⑦可解得y1,y2,由①即得相应x1,x2,故AB中点M距y轴最短距离为

且相应中点坐标为

解法三:同解法二得④,由此得

以下同解法二.

九、本题考查极限和导数运算.