一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:
(1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.
二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.
三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.
(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)
五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.
(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;
(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.
七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).
九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.
附加题
问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.
1980年试题(理工农医类)答案
二、证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.
因这三个圆两两外切,故有
O1O2=1+2=3,
O2O3=2+3=5,
O1O3=1+3=4,
根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3为直角三角形.
三、证明:取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),
根据所选坐标系,如图,有a>0,b<0,c>0.
解(1)、(2),得:(b-c)x=0.
∵b-c≠0,∴x=0.
这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.
因此,三条高线交于一点.
四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,
bx=N.
两端取以a为底的对数,
logabx=logaN,
xlogab=logaN.
∵ b≠1,∴logab≠0,
证法二:令logbN=x,根据对数定义,
N=bx
=(alogab)x=axlogab,
∴ xlogab=logaN.
∵ b≠1,logab≠0,
五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.
设平面N与平面M的交线为l.
∵PA⊥平面M,∴PA⊥l.
又∵PB⊥平面N,∴PB⊥l.
∴l⊥平面PAB,∴l⊥AB.
六、解:(1)M=1,m=-1,
(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.
而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期≤1.
可见,k=32就是这样的最小正整数.
七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,
则 AD=c-x.
即x2=c(c-x),
即x2+cx-c2=0,
∵取负号不合题意,
又依直角三角形的性质,有
AC2=AD·AB=c(c-x).
但x2=c(c-x),∴AC2=x2,
解法二:由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),
∴BD2=AD·AB.
但 AC2=AD·AB,
∴BD=AC.
两端乘以正数sin
,问题化为证明
2sinsin2≤1+cos.
而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos
=4(1-cos)(1+cos)cos.
所以问题又化为证明不等式
(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.
8t2(1-t2)≤(1+t2)2,
即 -9t4+6t2-1≤0,
-(3t2-1)2≤0.
∴不等式成立.
九、解:设圆的方程为
(x-k)2+y2=1.
再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).
在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.
由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,
将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,
将x0=-k代入,得 4k2-2k-1=0,
由于对称性,圆与抛物线的另一交点 (x0,-y0)处的切线也互相垂直.
附加题
解法一:消去参数,得
消去y,整理得
(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.
(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.
化简并约去a2得
(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.
对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是
即为所求的条件.
解法二:
直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.
如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.
如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.
因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.
要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,(E)与y轴的