在学习完正四面体、正方体、正八面体以后，我们再来学另两种正多面体——正十二面体与正二十面体，以及用它们完美组合而成的碳－60的空间模型。

【讨论】在平面上，我们用单位正方形，可紧密地铺满一个无限平面；用单位正六边形也是可以紧密地铺满一个平面的；那么单位正三角形可以吗？由于一个六边形可分割成六个完全相同的正三角形，显然，单位正三角形也是可以的；再来看正五边形，它的每个顶点是108°（不是360°的约数），如右图5-1所示，它在平面不可能铺满而不留任何空隙。在空间正多面体中，共一顶点的棱至少3条，共一顶点的夹角之和应小于360（如正方体270º，正八面体240º），因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六边形的正多面体，那么五边形是否可以构成正多面体呢？由于3×108º＜360º，因此就存在可能性。如右图5-2所示，这就由正五边形构成的正多面体——正十二面体。请看例题1。

【例题1】如图5-2所示是十二面体烷的空间构型，写出它的化学式并计算它的一氯取代物和二氯取代物的数目。

【分析】在前几节，我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。在正十二面体中，每个面是正五边形，三条棱共一顶点，因此顶点数应为12×5/3=20，而棱数应为12×5/2=30。既然是空间正多面体，它的每个顶点必须是等价的，一氯取代物只可能是一种。我选定一个顶点，与它最近的顶点是3个（共棱），然后是6个，然后依次是6个，3个，1个，故二氯取代物有5种。

【解答】化学式C₂₀H₂₀，1种一氯取代物，5种二氯取代物。

【讨论】继续讨论上文的话题，当用正方形（90º）构成空间正多面体时，共顶点的也只可以是三条棱，故只有一种正多面体—正方体；当用正三角形（60º）构成空间正多面体时，共顶点的棱可以是三条、四条、五条，三条时是正四面体，四条时是正八面体，五条时就是最后一个正多面体——正十二面体。如图5-3所示，这就是由正三角形构成的空间正二十面体。请看例题2。

【例题2】晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体（如图5-3所示），每个三角形均为正三角形，每个顶点为一硼原子。则每一个此基本单元由　　 个原子组成；该单元中有2个原子为¹⁰B（其余为¹¹B），那么该结构单元有　　 种不同类型。

【分析】如同例题1，先根据20个正三角形计算顶点数为20×3÷5=12；当选定1个顶点后，与它最近的顶点数为5个，然后就是5个和1个，即二取代物有3种。

【解答】12个 3种

【讨论】我们看一下正十二面体与正二十面体的关系，它们都是30条棱；其中正十二面体是12个顶点；正十二面体是20个顶点，而正二十面体是20个面。我们连接正十二面体的12个面的面心构成的空间图形就是正二十面体，再连接正二十面体的20个面的面心构成的空间图形就是正十二面体。

【练习1】正十二面体与正二十面体是否都存在三次轴和五次轴（n次轴表示绕该轴旋转360º/n与图形完全重合）。

【讨论】我们连接正十二面体的两个相对面的面心，就是一条五次轴，而连接相对顶点就是一条三次轴；那么正二十面体是否也存在类似的呢？

【讨论】关于C₆₀（如图5-4所示），大家已很熟悉，在这里我们只讨论它的空间结构。虽然C₆₀不是一种空间正多面体，但它还是一种很完美的、对称性很强的空间多面体。C₆₀中每个碳原子与3个碳原子相连，共12个五元环（正五边形）与20个六元环（正六边形）构成C₆₀的封闭多面体骨架。这里的12与20是否与正十二面体和正二十面体中的12、20有关系呢？其实，我们将正二十面体截去 12个顶点剩下的多面体就是C_60。那么怎么截呢？我们过二十面体的30条棱的三等分点去截12个顶点，由于1个顶点连出了5条棱，截面显然是个正五边形；原来的正三角形面在截取3个顶点后就变成正六边形了，原来的20个正三角形面就变成C₆₀