【例题3】1996年度诺贝尔化学奖授予三位大学教授，以表彰他们在1985年发现碳的球状结构。碳的球状结构，就是富勒烯家族的由若干个碳原子组成的笼状分子结构。这种笼状分子的典型代表是C₆₀。C₆₀是具有60个碳原子并组成1个酷似足球的笼状分子，如图5-4所示。

目前，化学家们已经找到十余种富勒烯家族的C_x，它们分子结构中都由正五边形和正六边形构成，C₈₀是其中一种。列式计算C₈₀中五边形和六边形的个数。^①

【分析】我们设正五边形与正六边形数分别为a和b，利用点、线、面的空间关系可列式(5a+6b)/2＝80×3/2＝120 ①（120就是棱的数目），另外利用封闭多面体的不饱和度也可列式(a＋b－1＋40)×2＝80×2＋2 ②（40可认为是双键数）。由①②，我们可解得a＝12；b＝30。

在C₈₀中，五边形数与在C₆₀中五边形数是一样的（97年高考中的C₇₀中五边形数也是12个），这儿是否有其内在规律呢？我们将①②式中的80改为x，将40改为x/2，这就是任意由五边形和六边形构成的富勒烯家族的C_x应满足的方程式。在解这两个方程时，消去 b的同时，也消去了x，并解出a＝12。因此C_x中，五边形数都是12个。另外，x是不可能为奇数的，每增加2个碳原子，就增加1个六元环（在一个六边形的相对顶点串连两个点不就构成2个六边形了吗？例题1中的C₂₀骨架是只有五边形构成的，与C₆₀相比，正好少了40个碳原子和20个六元环。

【解答】12个五边形　 20个六边形

【练习2】稠环分子的三维结构常常可以用角张力的减小得以解释。考虑十二面体烷（如图5-2所示）：^②

1．哪一种构型（平面三角形120º；四面体109.5º；或者八面体90º）跟它的键角的角度最接近？　　　　　

2．十二面体烷的的立体结构式跟哪一种杂化类型（sp、sp²or sp³）最接近？　　　　　

定义“连接处”为分子中任何一个三环体系共用的中心碳原子。试观察十二面体烷中用粗线标出的三个五角形（如图5-5所示）。设有一根轴穿过连接处的中心碳原子，该轴跟三个C—C键的夹角是相同的（如图5－6所示）。

3．试作一个理智的猜测，对于十二面体烷，这个角度的精确到的数值是多大？　　　　

4．上述角度减去90º可以描述它们偏离平面性。十二面体烷的连接处是否是平面的？　　　

现在再加富勒烯。所有己知的富勒烯中任何一个连接处偏离平面性都比十二面体烷小。对于C₆₀，所有的连接处都是完全相同的。

已经证实存在比C₆₀更小的富勒烯，例如C₅₈。如果忽略C₅₈的结构中任何一个双键和单键的区别（如图5-7所示）。为清楚起见，把该分子中的连接处的中心碳原子标为A、B和C并用如图5-8所示标出。

5．哪一个连接处偏离平面性最小？哪一个最大？ A、B还是C？

最后考虑更大的富勒烯C₁₈₀，作一级近似，设C₆₀和C₁₈₀。都是“完美的”球体（如图5-9所示）。

6．它们的结构中哪一个连接处偏离平面性比较大些？是C₆₀呢？还是C₁₈₀？　　　　　

7．C₁₈₀中A、B、C型碳原子各有几个？

A　　　 、B　　　 、C　　　

8．若把周围全是六边形的六边形的中心标出一个*，那么这些*构成的几何图形为　　　　　　

【讨论】在C₁₈₀中，也是12个五边形，六边形数为(180－20)/2＝80。12个五边形空间排布呈正二十面体（完美对称，十二个面心相当于正二十面体的12个顶点）。不可能有C型碳原子，五边形周围都是六边形，A型碳原子有5×12＝60个，即与五边形相邻的六边形有60个，当然剩下的20个六边形不与五边形相邻，它们在空间的完美对称排布应是一个正十二面体。

【练习3】C₂₄H₂₄有三种特殊的同分异构体A、B、C，它们都是笼状结构，不含有双键和三键；它们都只有一种一氧取代物，而二氯取代物不完全相同。试画出或说明A、B、C的碳原子空间构型和二氯取代物的具体数目，并比较A、B、C分子的稳定性。^③

【讨论】只有一种一氯取代物，说明分子的对称性很强。先考虑一下五种正多面体，正方体与正八面体都有12条棱（24的约数），在棱上的三等分点是等价的，因此削去正方体的8个顶点和正八面体的6个顶点都可以。另外也别忘了十二棱柱烷。